Лауреат Государственных премий, народный писатель Азербайджана (1998), Заслуженный деятель искусств Азербайджанской ССР (1976) и заслуженный деятель искусств Российской Федерации (1995), профессор. Брат писателя Максуда Ибрагимбекова.
Рустам Ибрагимбеков родился 5 февраля 1939 года в Баку в семье выходца из Шемахы профессора искусствоведения Мамеда Ибрагим Ахмед оглы Ибрагимбекова и Фатимы Алекпер кызы Мешадибековой. По национальности — азербайджанец. В 1963 году окончил Азербайджанский институт нефти и химии, а затем продолжил учёбу в аспирантуре Института кибернетики Академии наук СССР в Москве.
Имеет несколько научных трудов по теории систем автомобильного управления.
В 1967 году окончил Высшие сценарные курсы, а в 1974 году Высшие режиссёрские курсы во ВГИКе.
2 июля 2013 года Рустам Ибрагимбеков был выдвинут единым кандидатом от оппозиционного Национального совета демократических сил (НСДС) на выборах президента Азербайджана. 4 июля ради участия на выборах Ибрагимбеков отказался от российского гражданства, так как согласно статье 100 Конституции Азербайджанской Республики президентом Азербайджанской Республики может быть избран гражданин Азербайджанской Республики, не имеющий двойного гражданства.
Известность пришла к Рустаму Ибрагимбекову после того, как он в соавторстве с Валентином Ежовым написал сценарий к фильму «Белое солнце пустыни», который сразу после выхода на экраны обрёл в СССР популярность.
Основа творческих отношений Ибрагимбекова с режиссёром Никитой Михалковым была заложена в начале 1970-х годов, когда Михалков снял свой первый фильм «Спокойный день в конце войны» по сценарию Рустама Ибрагимбекова. Результатом их творческого содружества стал целый ряд получивших международное признание работ: «Урга. Территория любви» — удостоен главного приза Венецианского кинофестиваля «Золотой лев», Государственной премии Российской Федерации; «Утомлённые солнцем» — картина, получившая «Оскара» за лучший иностранный фильм, Гран-при жюри Каннского кинофестиваля, Государственную премию Российской Федерации; и «Сибирский цирюльник», также получивший Государственную премию.
Рустам Ибрагимбеков создал сценарии более 40 художественных и телевизионных фильмов, и практически все его литературные произведения были экранизированы. Рустам Ибрагимбеков создал в Баку первую детскую киношколу, которая занимала почётные места во многих кинофестивалях.
Рустам Ибрагимбеков — председатель Конфедерации Союзов кинематографистов стран СНГ и Балтии, секретарь СКР, председатель Еврейского кинофестиваля в Москве, председатель Союза кинематографистов Азербайджана, член Европейской киноакадемии «Феликс» и Американской академии киноискусства, член СПР.
В 1989 году Рустамом Ибрагимбековым была основана кинокомпания «Ибрус» (Ибрагимбеков Рустам), занимающаяся производством художественных и документальных фильмов.
В литературу Рустам Ибрагимбеков пришёл в 1962 году, когда в республиканской комсомольской газете «Молодёжь Азербайджана» был опубликован его рассказ «Хлеб без варенья». С тех пор его публикации издавались систематически.
Рустам Ибрагимбеков написал 15 пьес, поставленных более чем в 100 театрах разных стран мира. Пьесы — «Женщина за закрытой дверью», «Похороны в Калифорнии», «Дом на песке», «Похожий на льва» — с большим успехом шли в Праге, Берлине, Софии, Будапеште, Нью-Йорке («Circle Repertory Theatre», 1987), Баку и Москве. Он автор 10 книг и сборников «Ультиматум» (1983), «Проснувшись с улыбкой» (1985), «Дача» (1988), «Избранные повести» (1989), «Солнечное сплетение» (1996) и др., которые разошлись тиражом свыше 500 тысяч экземпляров.
Создал театр «Ибрус».
